Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel

Hallo Teman-Teman Semua, kali ini admin akan membahas tentang persamaan linear tiga variabel. Persamaan linear tiga variabel merupakan persamaan yang memiliki tiga variabel yang harus dicari nilainya. Persamaan ini seringkali digunakan dalam matematika terutama dalam pembahasan tentang sistem persamaan linear. Namun, sebelum membahas lebih lanjut, mari kita pahami dulu apa itu persamaan linear.

Apa itu Persamaan Linear?

Persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel dalam bentuk linier atau kuasa satu. Artinya, persamaan linear hanya memiliki pangkat variabel tertinggi adalah 1. Contohnya seperti persamaan y = 2x + 3 atau 3x – 4y = 5.

Nah, jika dalam suatu persamaan terdapat tiga variabel, maka persamaan tersebut disebut persamaan linear tiga variabel. Secara umum, persamaan linear tiga variabel dapat ditulis dalam bentuk:

ax + by + cz = d

Dalam persamaan ini, a, b, dan c adalah koefisien yang mewakili variabel x, y, dan z. Sedangkan d adalah konstanta.

Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel, di antaranya adalah:

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode ini merupakan salah satu metode yang paling umum digunakan dalam menyelesaikan persamaan linear tiga variabel. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tuliskan persamaan linear tiga variabel dalam matriks augmented.
2. Lakukan operasi elemen baris untuk menghasilkan matriks yang sudah berada dalam bentuk matriks eselon tereduksi.
3. Substitusikan nilai variabel yang telah diketahui ke dalam salah satu persamaan untuk mencari variabel yang tidak diketahui.
4. Ulangi langkah ke-3 sampai semua variabel diketahui.

Metode Substitusi

Metode ini lebih mudah dipahami daripada metode eliminasi Gauss-Jordan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Pilih salah satu persamaan yang terdapat di dalam sistem persamaan linear tiga variabel.
2. Carilah salah satu variabel yang ingin dicari nilainya dengan melakukan substitusi pada persamaan yang lain.
3. Substitusikan nilai variabel yang telah diketahui ke dalam persamaan tersebut untuk mencari nilai variabel yang tidak diketahui.
4. Ulangi proses substitusi hingga semua variabel diketahui.

Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel

Berikut ini adalah contoh soal persamaan linear tiga variabel beserta penyelesaiannya:

Contoh Soal 1

Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

x + 2y + z = 6

2x – y + 3z = 1

3x + 2y – z = 7

Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tersebut.

Penyelesaian

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Tuliskan persamaan linear tiga variabel dalam matriks augmented.

Langkah 2: Lakukan operasi elemen baris untuk menghasilkan matriks yang sudah berada dalam bentuk matriks eselon tereduksi.

Dari matriks tersebut, kita dapat mendapatkan nilai z = 2.

Langkah 3: Substitusikan nilai z ke salah satu persamaan untuk mencari nilai x atau y. Misalnya kita substitusikan ke persamaan pertama:

x + 2y + (2) = 6

Dari sini, kita dapatkan nilai y = 2.

Langkah 4: Substitusikan nilai z dan y ke salah satu persamaan untuk mencari nilai x:

x + 2(2) + (2) = 6

Dari sini, kita dapatkan nilai x = 0.

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 0, y = 2, dan z = 2.

Contoh Soal 2

Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

2x + y – z = 1

3x – 2y + 2z = 7

5x – 3y + 3z = 13

Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tersebut.

Penyelesaian

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode substitusi. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Pilih salah satu persamaan yang terdapat di dalam sistem persamaan linear tiga variabel. Misalnya kita pilih persamaan pertama:

2x + y – z = 1

Langkah 2: Carilah salah satu variabel yang ingin dicari nilainya dengan melakukan substitusi pada persamaan yang lain. Misalnya kita ingin mencari nilai y:

y = 1 – 2x + z

Langkah 3: Substitusikan nilai y ke persamaan yang lain untuk mencari nilai x dan z. Misalnya kita substitusikan ke persamaan kedua:

3x – 2(1 – 2x + z) + 2z = 7

Dari sini, kita dapatkan nilai x = 1.

Langkah 4: Substitusikan nilai x ke persamaan yang lain untuk mencari nilai z. Misalnya kita substitusikan ke persamaan ketiga:

5(1) – 3y + 3z = 13

Dari sini, kita dapatkan nilai z = 2.

Setelah kita memiliki nilai x dan z, kita dapat substitusikan ke persamaan yang sudah kita dapatkan sebelumnya untuk mencari nilai y:

y = 1 – 2(1) + (2)

Dari sini, kita dapatkan nilai y = -1.

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = -1, dan z = 2.

FAQ

1. Apa itu persamaan linear tiga variabel?

Persamaan linear tiga variabel adalah persamaan yang memiliki tiga variabel yang harus dicari nilainya.

2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear tiga variabel?

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel, di antaranya adalah metode eliminasi Gauss-Jordan dan metode substitusi.

3. Apa bedanya persamaan linear dengan persamaan non-linear?

Persamaan linear mengandung variabel dalam bentuk linier atau kuasa satu, sedangkan persamaan non-linear mengandung variabel dalam bentuk yang lebih kompleks seperti pangkat dua atau lebih.

4. Kapan persamaan linear tiga variabel sering digunakan?

Persamaan linear tiga variabel sering digunakan dalam matematika terutama dalam pembahasan tentang sistem persamaan linear.

Kesimpulan

Setelah memahami tentang persamaan linear dan cara penyelesaiannya, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan linear tiga variabel adalah persamaan yang memiliki tiga variabel yang harus dicari nilainya. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel, di antaranya adalah metode eliminasi Gauss-Jordan dan metode substitusi. Dalam menyelesaikan persamaan ini, kita harus berhati-hati dan teliti agar tidak salah dalam melakukan penghitungan. Semoga artikel ini bermanfaat untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan matematika teman-teman semua. Terima kasih sudah membaca.

Sampai Jumpa Kembali di Artikel Menarik Lainnya!